Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \log_{2} (x + 1) + 3$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \log_{2} (x + 1) + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \log_{2} (x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \log_{2} (x + 1)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\log_{2} (x + 1)] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{2} (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\log_{2} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$2 (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$2 (\frac{1}{(x + 1) \ln (2)} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.7

Nhân $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ với $1$ .

$2 \frac{1}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{(x + 1) \ln (2)}$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{(x + 1) \ln (2)} + 0$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2}{x \ln (2) + 1 \ln (2)} + 0$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\ln (2)$ với $1$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)} + 0$

Bước 4.2.2

Cộng $\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$ và $0$ .

$\frac{2}{x \ln (2) + \ln (2)}$