Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 4 \sqrt{x} + x - 11$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 x^{2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$6 x^{2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$6 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 3.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.10

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.12

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.13

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 4.13.3

Viết lại biểu thức.

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Bước 5.2

Vì $- 11$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 11$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 + 0$

Bước 6.2.2

Cộng $6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$ và $0$ .

$6 x^{2} + \frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 1$