Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3} \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{1} x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [12 x^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.5

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{4}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$12 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 2.7

Nhân $4$ với $12$ .

$48 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$48 x^{3} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.6

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.7

Nhân $\frac{1}{x}$ với $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.8

Cộng $x^{- 2}$ và $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

Bước 6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$