Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ và $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Bước 3.2

Vì $\frac{1}{u}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x - 1}{u}$ đối với $x$ là $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 3.3

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Bước 3.7.2

Nhân $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ với $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Bước 4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Bước 4.2.3

Viết lại $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ ở dạng $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Viết lại $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Bước 4.2.3.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $u^{2}$ ra ngoài $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Bước 4.2.3.1.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Bước 4.2.3.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{1}{u}$ và $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Bước 4.2.5

Kết hợp $u$ và $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Bước 4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Bước 4.2.6.2

Chia $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ cho $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$