Giải tích Ví dụ

$f (x) = 22 \arctan (\sqrt{s})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{s}$ ở dạng $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.2

Vì $22$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $22 \arctan (s^{\frac{1}{2}})$ đối với $s$ là $22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$ .

$22 \frac{d}{d s} [\arctan (s^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = \arctan (s)$ và $g (s) = s^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $s^{\frac{1}{2}}$ .

$22 (\frac{1}{1 + {(s^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$22 (\frac{1}{1 + s^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$22 (\frac{1}{1 + s^{1}} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Rút gọn.

$22 (\frac{1}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}])$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{1 + s}$ và $22$ .

$\frac{22}{1 + s} \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{22}{1 + s} (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}})$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{22}{1 + s} \cdot \frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 13

Nhân $\frac{22}{1 + s}$ với $\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{(1 + s) \cdot 2}$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + s$ .

$\frac{22 s^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + s)}$

Bước 14.2

Di chuyển $s^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{22}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15

Đưa $2$ ra ngoài $22$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 16

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1 + s) s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 11}{2 ((1 + s) s^{\frac{1}{2}})}$

Bước 16.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{11}{(1 + s) s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{11}{1 s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Nhân $s^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s \cdot s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2

Nhân $s$ với $s^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Nhân $s$ với $s^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1} s^{\frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 17.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 17.2.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}}$

Bước 17.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Đưa $s^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $s^{\frac{1}{2}} + s^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{3}{2}}}$

Bước 17.3.1.2

Đưa $s^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $s^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}}$

Bước 17.3.1.3

Đưa $s^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{2}{2}}$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{\frac{2}{2}})}$

Bước 17.3.2

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s^{1})}$

Bước 17.3.3

Rút gọn.

$\frac{11}{s^{\frac{1}{2}} (1 + s)}$