Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{4} - 7 \sqrt{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{4} - 7 \sqrt{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$3 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.8

Kết hợp $3$ và $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.9

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.10

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 2.11.4

Chia $4 x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{4}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 3.3

Nhân $4$ với $2$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 4.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - 7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 4.10

Kết hợp $- 7$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} + \frac{- 7 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 4.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x^{\frac{1}{3}} + 8 x^{3} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 x^{3} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$