Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{1 - x^{2}}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Bước 4

Kết hợp $e^{1 - x^{2}}$ và $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Bước 6.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Bước 6.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Bước 6.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

Bước 6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

Bước 6.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

Bước 7

Để viết $\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

Bước 9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

Bước 10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

Bước 13

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ .

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Bước 14.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Bước 14.2.1.2

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Bước 14.2.1.3

Nhân $3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Bước 14.2.1.3.2

Sắp xếp lại $\ln (x^{2})$ và $- 3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Bước 14.2.1.3.3

Rút gọn $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Bước 14.2.1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Bước 14.2.1.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Bước 14.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

Bước 14.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Bước 14.4

Đưa $e^{1 - x^{2}}$ ra ngoài $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Đưa $e^{1 - x^{2}}$ ra ngoài $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Bước 14.4.2

Đưa $e^{1 - x^{2}}$ ra ngoài $3 e^{1 - x^{2}}$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

Bước 14.4.3

Đưa $e^{1 - x^{2}}$ ra ngoài $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

Bước 14.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

Bước 14.6

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

Bước 14.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Bước 14.8

Viết lại $- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ ở dạng $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Bước 14.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$