Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \sqrt{x^{2} + x + 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + x + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + x + 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.11.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1 + 0))$

Bước 3.13

Cộng $2 x + 1$ và $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

Bước 3.14

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

Bước 3.15

Di chuyển ${(x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2$