Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \sqrt{4 x} + e^{- 2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x}$ ở dạng ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(4 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.5

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [3 (2^{1} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.7

Tính số mũ.

$\frac{d}{d x} [3 (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.8

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.9

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.17

Kết hợp $6$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.18

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.19

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.20

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.20.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.20.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 2.20.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Bước 3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Bước 3.5

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{- 2 x}$