Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x \sin (\frac{1}{x})$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x \sin (\frac{1}{x})$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$5 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 (x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $- 2$ và $1$ .

$5 (x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7.3

Viết lại $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ ở dạng $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

Bước 9

Nhân $\sin (\frac{1}{x})$ với $1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x}))) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Bước 10.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Bước 10.3.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Bước 10.3.3

Kết hợp $- 5$ và $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Bước 10.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$