Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x) + x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{1}{9} x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{4} \ln (\frac{x}{9})$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (\frac{x}{9})] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \ln (\frac{x}{9})$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{9})] + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{9}]) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.5

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{9}$ đối với $x$ là $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (x^{4} (\frac{1}{\frac{x}{9}} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.8

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{9}$ .

$5 (x^{4} (1 \frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.9

Nhân $\frac{9}{x}$ với $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} (\frac{1}{9} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.10

Nhân $\frac{1}{9}$ với $1$ .

$5 (x^{4} (\frac{9}{x} \cdot \frac{1}{9}) + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.11

Nhân $\frac{9}{x}$ với $\frac{1}{9}$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{x \cdot 9} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.12

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$5 (x^{4} \frac{9}{9 \cdot x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.13

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (x^{4} \frac{9}{9 x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.13.2

Viết lại biểu thức.

$5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.14

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{1}{x}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15.2.4

Viết lại biểu thức.

$5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.15.2.5

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (x^{3} + \ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x^{3} + 5 (\ln (\frac{x}{9}) (4 x^{3})) + 4 x^{3}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $4$ với $5$ .

$5 x^{3} + 20 (\ln (\frac{x}{9}) (x^{3})) + 4 x^{3}$

Bước 4.2.2

Cộng $5 x^{3}$ và $4 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (\frac{x}{9}) x^{3}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (\frac{x}{9})$