Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x + 1] + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\sin (x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 (\sin (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (\sin (x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$5 (\sin (x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + 0) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.9

Cộng $6 x + 2$ và $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + 3 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) + 1 \cos (x))$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (\sin (x) (6 x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $6$ với $5$ .

$30 (\sin (x) (x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$30 \sin (x) x + 5 (2 \cdot \sin (x)) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4.3

Nhân $2$ với $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4.4

Nhân $3$ với $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 (x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4.5

Nhân $2$ với $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 (x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Bước 5.4.6

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 5 \cos (x)$

Bước 5.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$30 x \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 5 \cos (x)$