Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Bước 1.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ và $g (x) = 9 + 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 + 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 2.3

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Bước 2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.9.2

Trừ $5$ khỏi $2$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Bước 2.11

Nhân $5$ với $1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)$

Bước 2.12

Cộng $0$ và $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5$

Bước 2.13

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5$

Bước 2.14

Kết hợp $\frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ và $5$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Bước 2.15

Nhân $5$ với $2$ .

$0 + \frac{10 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Bước 2.16

Di chuyển ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{10}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Bước 2.17

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Bước 2.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 ({(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Bước 2.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Bước 2.18.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $0$ và $\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Bước 3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{{(5 x + 9)}^{\frac{3}{5}}}$