Giải tích Ví dụ

$f (x) = 50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $50 - \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [50] + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Bước 1.2

Vì $50$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $50$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 25$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{25 t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}$ đối với $t$ là $- 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 25 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{{(t + 3)}^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = t + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t + 3$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$0 - 25 \frac{{(t + 3)}^{2} (2 t) - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 25 \frac{2 \cdot {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) (1 + 0))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.9

Cộng $1$ và $0$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3) \cdot 1)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - t^{2} (2 (t + 3))}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{({(t + 3)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.12

Nhân các số mũ trong ${({(t + 3)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$0 - 25 \frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 2.13

Kết hợp $- 25$ và $\frac{2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$0 + \frac{- 25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 2.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t - 2 t^{2} t - 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 - \frac{25 (2 {(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $25$ .

$0 - \frac{50 ({(t + 3)}^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} t) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 (t^{1} t^{2})) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{1 + 2}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t + 25 (- 2 t^{3}) + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.5

Nhân $- 2$ với $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 2 t^{2} \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.6

Nhân $3$ với $- 2$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} + 25 (- 6 t^{2})}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.7

Nhân $- 6$ với $25$ .

$0 - \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.3.8

Trừ $\frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$ khỏi $0$ .

$- \frac{50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $50 t$ ra ngoài $50 {(t + 3)}^{2} t - 50 t^{3} - 150 t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Đưa $50 t$ ra ngoài $50 {(t + 3)}^{2} t$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) - 50 t^{3} - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.1.2

Đưa $50 t$ ra ngoài $- 50 t^{3}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) - 150 t^{2}}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.1.3

Đưa $50 t$ ra ngoài $- 150 t^{2}$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.1.4

Đưa $50 t$ ra ngoài $50 t ({(t + 3)}^{2}) + 50 t (- t^{2})$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.1.5

Đưa $50 t$ ra ngoài $50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2}) + 50 t (- 3 t)$ .

$- \frac{50 t ({(t + 3)}^{2} - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.2

Viết lại ${(t + 3)}^{2}$ ở dạng $(t + 3) (t + 3)$ .

$- \frac{50 t ((t + 3) (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.3

Khai triển $(t + 3) (t + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{50 t (t (t + 3) + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 (t + 3) - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{50 t (t \cdot t + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1.1

Nhân $t$ với $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + t \cdot 3 + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.4.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 \cdot t + 3 t + 3 \cdot 3 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.4.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 3 t + 3 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.4.2

Cộng $3 t$ và $3 t$ .

$- \frac{50 t (t^{2} + 6 t + 9 - t^{2} - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.5

Trừ $t^{2}$ khỏi $t^{2}$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 + 0 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.6

Cộng $6 t$ và $0$ .

$- \frac{50 t (6 t + 9 - 3 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.7

Trừ $3 t$ khỏi $6 t$ .

$- \frac{50 t (3 t + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.8

Đưa $3$ ra ngoài $3 t + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 t$ .

$- \frac{50 t (3 (t) + 9)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.8.2

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$- \frac{50 t (3 t + 3 \cdot 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.8.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 t + 3 \cdot 3$ .

$- \frac{50 t (3 (t + 3))}{{(t + 3)}^{4}}$

$- \frac{50 t \cdot 3 (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.4.9

Nhân $3$ với $50$ .

$- \frac{150 t (t + 3)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $t + 3$ và ${(t + 3)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $t + 3$ ra ngoài $150 t (t + 3)$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{{(t + 3)}^{4}}$

Bước 3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $t + 3$ ra ngoài ${(t + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Bước 3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{(t + 3) (150 t)}{(t + 3) {(t + 3)}^{3}}$

Bước 3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{150 t}{{(t + 3)}^{3}}$