Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 \cdot x^{4} + 3 \cdot \arctan (7 x^{4})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [7 \cdot x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{4}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Bước 2.3

Nhân $4$ với $7$ .

$28 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [3 \cdot \arctan (7 x^{4})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \arctan (7 x^{4})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [\arctan (7 x^{4})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = 7 x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{4}])$

Bước 3.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{4}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{4}]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.5

Đưa $7$ ra ngoài $7 x^{4}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + {(7 (x^{4}))}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $7 (x^{4})$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 7^{2} {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.7

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 {(x^{4})}^{2}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.8

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{4 \cdot 2}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.8.2

Nhân $4$ với $2$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (7 (4 x^{3})))$

Bước 3.9

Nhân $4$ với $7$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{1}{1 + 49 x^{8}} (28 x^{3}))$

Bước 3.10

Kết hợp $28$ và $\frac{1}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + 3 (\frac{28}{1 + 49 x^{8}} x^{3})$

Bước 3.11

Kết hợp $\frac{28}{1 + 49 x^{8}}$ và $x^{3}$ .

$28 x^{3} + 3 \frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Bước 3.12

Kết hợp $3$ và $\frac{28 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$28 x^{3} + \frac{3 (28 x^{3})}{1 + 49 x^{8}}$

Bước 3.13

Nhân $28$ với $3$ .

$28 x^{3} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $28 x^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + 49 x^{8}}{1 + 49 x^{8}}$ .

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{1 + 49 x^{8}} + \frac{84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Bước 4.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{28 x^{3} (1 + 49 x^{8}) + 84 x^{3}}{1 + 49 x^{8}}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{84 x^{3} + 28 x^{3} (1 + 49 x^{8})}{49 x^{8} + 1}$