Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 x^{2} \cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{2} \cos (x) + 3 \sqrt[3]{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2} \cos (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 3.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 3.10

Kết hợp $3$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.12

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.13

Viết lại biểu thức.

$8 (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (x^{2} (- \sin (x))) + 8 (\cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 (x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cos (x) (2 x)) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $8$ .

$- 8 x^{2} \sin (x) + 16 \cos (x) x + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 8 x^{2} \sin (x) + 16 x \cos (x) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$