Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \arctan (x) - 4 x + 1$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 \arctan (x) - 4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \arctan (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$8 \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + 0$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + 0$

Bước 5.1.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Bước 5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Bước 5.1.4

Cộng $\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ và $0$ .

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$