Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ và $8$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Bước 8

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 9

Nhân $\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ với $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $7$ với $8$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Bước 10.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Bước 10.3

Di chuyển $x^{\frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Bước 11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $x^{\frac{7}{2}}$ với $x^{- \frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Bước 11.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Bước 11.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Bước 11.1.4

Cộng $- 5$ và $7$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{56}{2 x^{1}}$

Bước 11.2

Rút gọn $2 x^{1}$ .

$\frac{56}{2 x}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung của $56$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Đưa $2$ ra ngoài $56$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Bước 12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{28}{x}$