Giải tích Ví dụ

$f (x) = 7 x^{5} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{5} \sqrt{x} - \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{5} \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{5} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2

Nhân $x^{5}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{2}} x^{5})] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.3

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 5 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 10}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.2.6.2

Cộng $1$ và $10$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{11}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.3

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{\frac{11}{2}}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{11}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{11 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.8.2

Trừ $2$ khỏi $11$ .

$7 (\frac{11}{2} x^{\frac{9}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{11}{2}$ và $x^{\frac{9}{2}}$ .

$7 \frac{11 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.10

Kết hợp $7$ và $\frac{11 x^{\frac{9}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 (11 x^{\frac{9}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 2.11

Nhân $11$ với $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} \sqrt{x}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3} x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3 + \frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Bước 3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{6 + 1}{2}}}]$

Bước 3.2.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{7}{2}}}]$

Bước 3.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{\frac{7}{2}}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}]$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}]$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{7}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{3 + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{6 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.5.3.5.2

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.7

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{7}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot - 2} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{7 \cdot - 1} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.7.3

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Bước 3.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 3.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 3.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Bước 3.11.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 7} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ và $x^{- 7}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{5}{2}} x^{- 7}}{2})$

Bước 3.14

Nhân $x^{\frac{5}{2}}$ với $x^{- 7}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Di chuyển $x^{- 7}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 (x^{- 7} x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Bước 3.14.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- 7 + \frac{5}{2}}}{2})$

Bước 3.14.3

Để viết $- 7$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{2})$

Bước 3.14.4

Kết hợp $- 7$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}{2})$

Bước 3.14.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 7 \cdot 2 + 5}{2}}}{2})$

Bước 3.14.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.6.1

Nhân $- 7$ với $2$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 14 + 5}{2}}}{2})$

Bước 3.14.6.2

Cộng $- 14$ và $5$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{\frac{- 9}{2}}}{2})$

Bước 3.14.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7 x^{- \frac{9}{2}}}{2})$

Bước 3.15

Di chuyển $x^{- \frac{9}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} - 3 (- \frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}})$

Bước 3.16

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + 3 \frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$

Bước 3.17

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{3 \cdot 7}{2 x^{\frac{9}{2}}}$

Bước 3.18

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{77 x^{\frac{9}{2}}}{2} + \frac{21}{2 x^{\frac{9}{2}}}$