Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 {(5)}^{t} + 6 {(6)}^{t}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 {(5)}^{t} + 6 {(6)}^{t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [5 {(5)}^{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $5$ với ${(5)}^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d t} [5^{1} {(5)}^{t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d t} [5^{1 + t}] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = 5^{t}$ và $g (t) = 1 + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) \frac{d}{d t} [1 + t] + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) (0 + 1) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 2.7

Nhân $5^{1 + t}$ với $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [6 {(6)}^{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $6$ với ${(6)}^{t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6^{1} {(6)}^{t}]$

Bước 3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d t} [6^{1 + t}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = 6^{t}$ và $g (t) = 1 + t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [6^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $6$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{u_{2}} \ln (6) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + t$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) \frac{d}{d t} [1 + t]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) (0 + 1)$

Bước 3.6

Cộng $0$ và $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6) \cdot 1$

Bước 3.7

Nhân $6^{1 + t}$ với $1$ .

$5^{1 + t} \ln (5) + 6^{1 + t} \ln (6)$