Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 arccsc (10 x^{- 1})$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 arccsc (10 x^{- 1})$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (10 x^{- 1})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccsc (x)$ và $g (x) = 10 x^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $10 x^{- 1}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $arccsc (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{{(10 (x^{- 1}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $10 (x^{- 1})$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{10^{2} {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 {(x^{- 1})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 1 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (- \frac{1}{10 x^{- 1} \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.1.4

Di chuyển $x^{- 1}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4 (- \frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 (\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}])$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ và $- 4$ .

$\frac{x \cdot - 4}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.3

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 2 x)}{2 (5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [10 x^{- 1}]$

Bước 3.3

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{- 1}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $10$ với $- 1$ .

$- 10 \frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.2

Kết hợp $- 10$ và $\frac{2 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ .

$\frac{- 10 (2 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $- 10$ .

$\frac{- 20 x}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 20 x$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}$ .

$\frac{5 (- 4 x)}{5 (\sqrt{100 x^{- 2} - 1})} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 (- 4 x)}{5 \sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} (- x^{- 2})$

Bước 3.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Bước 3.6.2

Nhân $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ với $1$ .

$\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}} x^{- 2}$

Bước 3.6.3

Kết hợp $\frac{4 x}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$ và $x^{- 2}$ .

$\frac{4 x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Bước 4

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{- 2}$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x)}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Bước 4.2

Nhân $x^{- 2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 (x^{- 2} x^{1})}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x^{- 2 + 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Bước 4.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$\frac{4 x^{- 1}}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$

Bước 5

Di chuyển $x^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{100 x^{- 2} - 1} x}$

Bước 6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4}{x \sqrt{100 x^{- 2} - 1}}$