Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x^{2} - \ln (\frac{1}{2} x + 1)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Bước 1.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \ln (\frac{1}{2} x + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Bước 3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (\frac{x}{2} + 1)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$ .

$0 - 2 x - \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2} + 1)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} + 1])$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 3.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} \cdot 1 + 0))$

Bước 3.8

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} (\frac{1}{2} + 0))$

Bước 3.9

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$0 - 2 x - (\frac{1}{\frac{x}{2} + 1} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 3.10

Nhân $\frac{1}{\frac{x}{2} + 1}$ với $\frac{1}{2}$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{(\frac{x}{2} + 1) \cdot 2}$

Bước 3.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\frac{x}{2} + 1$ .

$0 - 2 x - \frac{1}{2 (\frac{x}{2} + 1)}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 - 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x - \frac{1}{2 \frac{x}{2} + 2 \cdot 1}$

Bước 4.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{2}$ .

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 x - \frac{1}{\frac{2 x}{2} + 2 \cdot 1}$

Bước 4.2.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2 \cdot 1}$

Bước 4.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 x - \frac{1}{x + 2}$

Bước 4.2.5

Để viết $- 2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$- 2 x \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Bước 4.2.6

Kết hợp $- 2 x$ và $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{- 2 x (x + 2)}{x + 2} - \frac{1}{x + 2}$

Bước 4.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 x (x + 2) - 1}{x + 2}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Bước 4.3.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 1}{x + 2}$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 1}{x + 2}$

Bước 4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - 4 x - 1}{x + 2}$

Bước 4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (4 x) - 1}{x + 2}$

Bước 4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2}) - (4 x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1}{x + 2}$

Bước 4.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)}{x + 2}$

Bước 4.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x^{2} + 4 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Bước 4.9

Viết lại $- (2 x^{2} + 4 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 4 x + 1)}{x + 2}$

Bước 4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x^{2} + 4 x + 1}{x + 2}$