Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{2} \sqrt{3 x - 8}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 x - 8}$ ở dạng ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 3 x - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x - 8$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (x^{2} (\frac{1}{2} {(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{{(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8.3

Di chuyển ${(3 x - 8)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{2} (\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 8] + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 10

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 12

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 13

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $3$ và $0$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ và $3$ .

$4 (\frac{x^{2} \cdot 3}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 14.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$4 (\frac{3 \cdot x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Bước 16

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x)$

Bước 17

Kết hợp $\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ và $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} x$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Di chuyển ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 17.2

Để viết $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 17.3

Kết hợp $2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{3 x^{2}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 17.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{3 x^{2} + 2 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 18

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Nhân ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Di chuyển ${(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.4

Cộng $1$ và $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19.5

Chia $2$ cho $2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x {(3 x - 8)}^{1}}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Rút gọn $4 x {(3 x - 8)}^{1}$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Kết hợp $4$ và $\frac{3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Đưa $2$ ra ngoài $4 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 ({(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 23.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8)))}{2 {(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x - 8))}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x^{2} + 4 x (3 x) + 4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.3.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x (3 x)) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 (x \cdot x) \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (4 x^{2} \cdot 3) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.3

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 (12 x^{2}) + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.4

Nhân $12$ với $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (4 x \cdot - 8)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.5

Nhân $- 8$ với $4$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} + 2 (- 32 x)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.1.6

Nhân $- 32$ với $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 24 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.3.2

Cộng $6 x^{2}$ và $24 x^{2}$ .

$\frac{30 x^{2} - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4

Đưa $2 x$ ra ngoài $30 x^{2} - 64 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.4.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x (15 x) - 64 x}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 64 x$ .

$\frac{2 x (15 x) + 2 x (- 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.4.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (15 x) + 2 x (- 32)$ .

$\frac{2 x (15 x - 32)}{{(3 x - 8)}^{\frac{1}{2}}}$