Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 arccsc (\tan (e^{x}))$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 arccsc (\tan (e^{x}))$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccsc (x)$ và $g (x) = \tan (e^{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (e^{x})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $arccsc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (e^{x})$ .

$4 (- \frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Bước 3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 (\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ và $- 4$ .

$\frac{- 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\sec^{2} (e^{x})$ và $\frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (e^{x}) \cdot 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 5.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (e^{x})$ .

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} e^{x}$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{e^{x} (4 \sec^{2} (e^{x}))}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

Bước 7.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{4 e^{x} \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$