Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{2} \ln (x) + 2 x$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} \ln (x) + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2} \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.5

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.6.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$3 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x + \ln (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x + \ln (x) (2 x)) + 2 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$3 (x + \ln (x) (2 x)) + 2$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x + 3 (\ln (x) (2 x)) + 2$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$3 x + 6 \ln (x) x + 2$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 x \ln (x) + 3 x + 2$