Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \arctan (x) - x^{3}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 \arctan (x) - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \arctan (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$3 \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - (3 x^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - 3 x^{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $- 3 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.2

Kết hợp $- 3 x^{2}$ và $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{3}{1 + x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 3 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 3 x^{2} (1 + x^{2}) + 3}{x^{2} + 1}$