Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \arctan (e^{2 x})$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \arctan (e^{2 x})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arctan (e^{2 x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$3 (\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ và $3$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{3}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{3}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{e^{2 x} \cdot 3}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (3 e^{2 x})}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

Bước 5.6

Nhân $\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ với $1$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$