Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 3 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5}{6} x^{3} + \frac{1}{24} x^{4} + \frac{1}{120} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 1.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $1$ .

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 3 + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$0 + 3 + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 3 + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 3.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$0 + 3 + x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $\frac{5}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{6} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 + 3 + x + \frac{5}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.3

Kết hợp $3$ và $\frac{5}{6}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 \cdot 5}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.4

Nhân $3$ với $5$ .

$0 + 3 + x + \frac{15}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.5

Kết hợp $\frac{15}{6}$ và $x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{15 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $15$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $15 x^{2}$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 3 + x + \frac{3 (5 x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $\frac{1}{24}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{24} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{1}{24} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{24}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4}{24} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{4}{24}$ và $x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $24$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{120} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $\frac{1}{120}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{120} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{120} (5 x^{4})$

Bước 6.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{120}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5}{120} x^{4}$

Bước 6.4

Kết hợp $\frac{5}{120}$ và $x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{120}$

Bước 6.5

Triệt tiêu thừa số chung của $5$ và $120$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x^{4}$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 (x^{4})}{120}$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $120$ .

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{5 \cdot 24}$

Bước 6.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + 3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $0$ và $3$ .

$3 + x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$

Bước 7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{5 x^{2}}{2} + x + 3$