Giải tích Ví dụ

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 9

Cộng $1$ và $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 10

Kết hợp $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Bước 11

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{4 (- 1 \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.2

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.8

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.9

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.10

Nhân $\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ với $\frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{3}}$

Bước 12.4.11

Nhân ${(1 + \sin (x))}^{2}$ với ${(1 + \sin (x))}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.11.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 3}}$

Bước 12.4.11.2

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.6

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.7

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.8

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.9

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.10

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.10.1

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.10.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.10.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 (\sin (x)) - 4 (1)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.11

Triệt tiêu thừa số chung của $\sin (x) + 1$ và ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.11.2

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Bước 12.11.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.3.1

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Bước 12.11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Bước 12.11.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Bước 12.12

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{- 4 \cdot \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Bước 12.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$