Giải tích Ví dụ

$h (x) = \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} + {(2 x - 3)}^{0.5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$ ở dạng ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(2 x - 3)}^{0.5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(2 x - 3)}^{0.5}$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}] + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{0.5}$ và $g (x) = 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 0.5$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {u_{2}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x - 3$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- {({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.8

Nhân các số mũ trong ${({(2 x - 3)}^{0.5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- {(2 x - 3)}^{0.5 \cdot - 2} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.8.2

Nhân $0.5$ với $- 2$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.9

Nhân $2$ với $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.10

Cộng $2$ và $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.11

Nhân $2$ với $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} (1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.12

Nhân ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ với $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1} {(2 x - 3)}^{- 0.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.13

Nhân ${(2 x - 3)}^{- 1}$ với ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Di chuyển ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ .

$- ({(2 x - 3)}^{- 0.5} {(2 x - 3)}^{- 1}) + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- {(2 x - 3)}^{- 0.5 - 1} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 2.13.3

Trừ $1$ khỏi $- 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{0.5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{0.5}$ và $g (x) = 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{0.5}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {u_{3}}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x - 3$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 \cdot 1 + 0)$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} (2 + 0)$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $0$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 0.5 {(2 x - 3)}^{- 0.5} \cdot 2$

Bước 3.8

Nhân $2$ với $0.5$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + 1 {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Bước 3.9

Nhân ${(2 x - 3)}^{- 0.5}$ với $1$ .

$- {(2 x - 3)}^{- 1.5} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + {(2 x - 3)}^{- 0.5}$

Bước 5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}} + \frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}}$

Bước 6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{0.5}} - \frac{1}{{(2 x - 3)}^{1.5}}$