Giải tích Ví dụ

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = \ln (6 t)$ và $g (t) = \ln (12 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 6 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{6 t}$ và $\ln (12 t)$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.2

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $6 t$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $6$ và $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ .

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 3.5

Nhân $\frac{\ln (12 t)}{t}$ với $1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 4

Nhân $\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ với $\frac{t}{t}$ .

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp.

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 5.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 12 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{12 t}$ và $\ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $t$ và $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.3

Vì $12$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $12 t$ đối với $t$ là $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $12$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.2

Kết hợp $- 12$ và $\frac{\ln (6 t)}{12}$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Đưa $12$ ra ngoài $- 12 \ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.4.3.2.4

Chia $- \ln (6 t)$ cho $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 7.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 8

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $6$ ra ngoài $12 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 10

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Bước 10.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$