Giải tích Ví dụ

$h (x) = \arccos (\ln (\sqrt{x}))$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arccos (\ln (x^{\frac{1}{2}}))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arccos (x)$ và $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arccos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{\sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 11

Nhân $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})})}$

Bước 12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Bước 13.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Bước 13.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Bước 13.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Bước 13.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$- \frac{1}{2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$

Bước 13.2

Rút gọn $2 x^{1} \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ .

$- \frac{1}{2 x \sqrt{1 - \ln^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}$