Giải tích Ví dụ

$h (x) = 5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 5^{x}$ và $g (x) = 3 x - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x - 5$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.5

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.6

Nhân $3$ với $1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.7

Cộng $3$ và $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 2.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5^{3 x - 5} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 3.5

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \log_{4} (x)$ và $g (x) = x^{4} + 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\log_{4} (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\log_{4} (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{u_{3} \ln (4)}$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{u_{3} \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Bước 4.4

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \cdot 1)$

Bước 4.6

Nhân $7$ với $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Bước 5.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} x (- \sin (x)) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) - e^{x \cos (x)} x \sin (x) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + (4 x^{3} + 7) \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)}$