Giải tích Ví dụ

$h (x) = 12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 2.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$12 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 4.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 4.3

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Bước 4.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Bước 4.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.6.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Bước 4.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Bước 4.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Bước 4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Bước 4.10.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 4.11

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 4.12

Kết hợp $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

Bước 4.13

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{- 3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Di chuyển $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Bước 4.13.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 4.13.3

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 4.13.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 4.13.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Bước 4.13.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.6.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Bước 4.13.6.2

Cộng $- 6$ và $1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Bước 4.13.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Bước 4.14

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

Bước 4.15

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$12 - 3 x^{2} + 3 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Bước 4.16

Kết hợp $3$ và $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Bước 4.17

Nhân $3$ với $3$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 x^{2} + 12 + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$