Giải tích Ví dụ

$h (s) = \frac{s}{\sqrt{s} - 1}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{s}$ ở dạng $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s}{s^{\frac{1}{2}} - 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ là $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ trong đó $f (s) = s$ và $g (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $s^{\frac{1}{2}} - 1$ với $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $s^{\frac{1}{2}} - 1$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển $s^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $s$ là $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ và $s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 10.3

Di chuyển $s^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s \cdot s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 11

Nhân $s$ với $s^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $s$ với $s^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1} s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 11.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1 - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 11.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 11.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 12

Để viết $s^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 13

Kết hợp $s^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 15

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 16

Trừ $s^{\frac{1}{2}}$ khỏi $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 17

Nhân $\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 18

Kết hợp.

$\frac{2 (\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1)}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 19

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 20

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 20.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Bước 21

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$