Giải tích Ví dụ

$h (t) = \sqrt[4]{t} (\sqrt{t} + t)$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (\sqrt{t} + t)]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (t^{\frac{1}{2}} + t)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{4}}$ và $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t$ .

$t^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t] + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{\frac{1}{2}} + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 8.3

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Bước 11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Bước 12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Bước 13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Bước 14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Bước 14.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Bước 15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 17

Di chuyển $t^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Kết hợp $t^{\frac{1}{4}}$ và $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.2

Di chuyển $t^{\frac{1}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3

Nhân $t^{\frac{1}{2}}$ với $t^{- \frac{1}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.3.1

Di chuyển $t^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{2 (t^{- \frac{1}{4}} t^{\frac{1}{2}})} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.3

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.3.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 t^{\frac{- 1 + 2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.3.6

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.4

Nhân $t^{\frac{1}{4}}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.5

Kết hợp $t^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.6

Di chuyển $t^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7

Nhân $t^{\frac{3}{4}}$ với $t^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.7.1

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{4}})} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.3

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.7.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{4} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{- 2 + 3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.7.6

Cộng $- 2$ và $3$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.8

Kết hợp $t$ và $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Bước 18.3.9

Di chuyển $t^{\frac{3}{4}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 18.3.10

Nhân $t$ với $t^{- \frac{3}{4}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.10.1

Nhân $t$ với $t^{- \frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.10.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 18.3.10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1 - \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 18.3.10.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}{4}$

Bước 18.3.10.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4 - 3}{4}}}{4}$

Bước 18.3.10.4

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.11

Để viết $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.12

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4 t^{\frac{1}{4}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.12.1

Nhân $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{2 t^{\frac{1}{4}} \cdot 2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.12.2

Nhân $2$ với $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2 + 1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.14

Cộng $2$ và $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Bước 18.3.15

Để viết $t^{\frac{1}{4}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Bước 18.3.16

Kết hợp $t^{\frac{1}{4}}$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Bước 18.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4 + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Bước 18.3.18

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Bước 18.3.19

Cộng $4 t^{\frac{1}{4}}$ và $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$