Giải tích Ví dụ

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $400$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ đối với $t$ là $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + \ln (24 + t^{2})$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 24 + t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 + t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.6

Vì $24$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $24$ đối với $t$ là $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.8

Cộng $0$ và $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.10

Kết hợp $\frac{2}{24 + t^{2}}$ và $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.11

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 2.13

Kết hợp $400$ và $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $60000$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $60000$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Bước 3.2

Vì $- 400 \ln (24)$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 400 \ln (24)$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $400$ với $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Bước 4.2.3

Cộng $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ và $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

Bước 4.2.4

Cộng $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ và $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Bước 4.4

Đưa $400$ ra ngoài $400 t^{2} + 800 t + 9600$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đưa $400$ ra ngoài $400 t^{2}$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Bước 4.4.2

Đưa $400$ ra ngoài $800 t$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

Bước 4.4.3

Đưa $400$ ra ngoài $9600$ .

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Bước 4.4.4

Đưa $400$ ra ngoài $400 t^{2} + 400 (2 t)$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Bước 4.4.5

Đưa $400$ ra ngoài $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$