Giải tích Ví dụ

$P (t) = t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t^{3}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$4 t^{3} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 t^{3} + 5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $5$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 2 t^{2}$ đối với $t$ là $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{6}{7 t + 4}$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{7 t + 4}$ ở dạng ${(7 t + 4)}^{- 1}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [{(7 t + 4)}^{- 1}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 7 t + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Bước 4.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 t + 4$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Bước 4.5

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 t$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]))$

Bước 4.7

Vì $4$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $4$ đối với $t$ là $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + 0))$

Bước 4.8

Nhân $7$ với $1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 + 0))$

Bước 4.9

Cộng $7$ và $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \cdot 7)$

Bước 4.10

Nhân $7$ với $- 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- 7 {(7 t + 4)}^{- 2})$

Bước 4.11

Nhân $- 7$ với $6$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 {(7 t + 4)}^{- 2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 \frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $- 42$ và $\frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{- 42}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - \frac{42}{{(7 t + 4)}^{2}}$