Giải tích Ví dụ

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Bước 1.2

Vì $160$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ đối với $k$ là $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Bước 1.3

Viết lại $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ ở dạng ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ .

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ là $f' (g (k)) g' (k)$ trong đó $f (k) = k^{- 1}$ và $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ đối với $k$ là $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $k$ , đạo hàm của $1$ đối với $k$ là $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

Bước 3.5

Vì $0.05$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $0.05 e^{- 2 k}$ đối với $k$ là $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

Bước 3.6

Nhân $0.05$ với $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ là $f' (g (k)) g' (k)$ trong đó $f (k) = e^{k}$ và $g (k) = - 2 k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $- 2 k$ đối với $k$ là $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

Bước 5.2

Nhân $- 2$ với $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

Bước 5.4

Nhân $e^{- 2 k}$ với $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ và $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $0.05$ ra ngoài $0.05 e^{- 2 k} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Đưa $0.05$ ra ngoài $0.05 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

Bước 6.4.1.2

Đưa $0.05$ ra ngoài $1$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

Bước 6.4.1.3

Đưa $0.05$ ra ngoài $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

Bước 6.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Bước 6.4.3

Nâng $0.05$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Bước 6.5

Đưa $16$ ra ngoài $16 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Bước 6.6

Đưa $0.0025$ ra ngoài $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

Bước 6.7

Tách các phân số.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Bước 6.8

Chia $16$ cho $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Bước 6.9

Kết hợp $6400$ và $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$