Giải tích Ví dụ

$m (x) = {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = \cos (1 - x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 6

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 7.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ và $\sin (1 - x^{2})$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 8.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 8.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 8.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 8.6

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.6.2

Nhân $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ với $1$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 8.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (2 x)$

Bước 8.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Bước 8.8.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Bước 8.8.3

Kết hợp $\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2}$ và $x$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})) x}{2}$

Bước 8.8.4

Đưa $2$ ra ngoài $6 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2}$

Bước 9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 (1)}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 \cdot 1}$

Bước 9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x}{1}$

Bước 9.4

Chia $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ cho $1$ .

$3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$

Bước 10

Sắp xếp lại các thừa số của $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$3 x {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})$