Giải tích Ví dụ

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \sec (2 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sec (u)$ đối với $u$ là $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{2}{\cos (2 x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.4

Viết lại $\tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.5

Nhân $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Nhân $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ với $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.5.2

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.5.3

Nâng $\cos (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Bước 5.2.6

Viết lại $\sec (2 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Bước 5.2.7

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $\cos (2 x)$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.2

Tách các phân số.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.3

Viết lại $\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.4

Viết $\sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.5.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.6

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ sang $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.8

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.9

Viết lại $\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ ở dạng một tích.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.10

Viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.11.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Bước 5.3.11.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$