Giải tích Ví dụ

$q (x) = 8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}}) - \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [8 (\sqrt{\frac{5 (\sin (x))}{3}})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{5 \sin (x)}{3}}$ ở dạng ${(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{5 \sin (x)}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{5 \sin (x)}{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \sin (x)}{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.4

Vì $\frac{5}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 \sin (x)}{3}$ đối với $x$ là $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{5}{3} \cos (x))) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $\cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{5 \cos (x)}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.12

Nhân $\frac{5 \cos (x)}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{3 \cdot 2} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.13

Nhân $3$ với $2$ .

$8 (\frac{5 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.14

Kết hợp $\frac{5 \cos (x)}{6}$ và $8$ .

$\frac{5 \cos (x) \cdot 8}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.15

Nhân $8$ với $5$ .

$\frac{40 \cos (x)}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $40$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $40 \cos (x)$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{6} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 (3)} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (20 \cos (x))}{2 \cdot 3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{5 \cos (x)}}{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{5 \cos (x)}$ ở dạng ${(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 \cos (x))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Bước 3.2

Đưa $5$ ra ngoài $5 \cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{{(5 (\cos (x)))}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 (\cos (x))$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}]$

Bước 3.4

Vì $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5^{\frac{1}{3}} {\cos (x)}^{\frac{1}{3}}}{7}$ đối với $x$ là $- \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.6

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \sin (x)))$

Bước 3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.10.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{\frac{- 2}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{1}{3} {\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} (- \sin (x)))$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \sin (x)))$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{{\cos (x)}^{- \frac{2}{3}} \sin (x)}{3})$

Bước 3.14

Di chuyển ${\cos (x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} (- \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}})$

Bước 3.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.16

Nhân $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ với $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}}}{7} \cdot \frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.17

Nhân $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{7}$ với $\frac{\sin (x)}{3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{7 (3 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 3.18

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{5 \sin (x)}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{20 \cos (x)}{3} {(\frac{3}{5 \sin (x)})}^{\frac{1}{2}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{5 \sin (x)}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(5 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 \sin (x)$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\frac{20 \cos (x)}{3}$ với $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 \cos (x) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3 (5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.2

Di chuyển $3^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3

Nhân $3$ với $3^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Di chuyển $3^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3.2

Nhân $3^{- \frac{1}{2}}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5.3.3.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{20 \cos (x)}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{5^{\frac{1}{3}} \sin (x)}{21 {\cos (x)}^{\frac{2}{3}}}$