Giải tích Ví dụ

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $i$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $t^{2} i$ đối với $t$ là $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $j$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $(1 - t) j$ đối với $t$ là $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.7

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 3.9

Viết lại $- 1 j$ ở dạng $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{2 t^{3}}{3}$ và $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Bước 4.3

Vì $\frac{2 k}{3}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{2 t^{3} k}{3}$ đối với $t$ là $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Bước 4.5

Kết hợp $3$ và $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Bước 4.7

Kết hợp $\frac{6 k}{3}$ và $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Bước 4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Bước 4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Bước 4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Bước 4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Bước 4.8.2.4

Chia $2 k t^{2}$ cho $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$