Giải tích Ví dụ

$G (y) = {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = \frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2 y - 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = 2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{(2 y - 1) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $2 y - 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (2 y - 1) y - y^{2} \frac{d}{d y} [2 y - 1]}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y - 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Nhân $2$ với $1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} (2 + 0)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $2$ và $0$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - y^{2} \cdot 2}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2} \frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 3.8.3

Kết hợp $\frac{2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ và $3$ .

$\frac{(2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}) \cdot 3}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Bước 3.8.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $2 (2 y - 1) y - 2 y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} {(\frac{y^{2}}{2 y - 1})}^{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y^{2}}{2 y - 1}$ .

$\frac{3 (2 (2 y - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 ((2 (2 y) + 2 \cdot - 1) y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 (2 y) y + 2 \cdot - 1 y - 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 (2 y) y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 (4 y \cdot y) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y)) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 (4 (y^{1} y^{1})) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 (4 y^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{3 (4 y^{2}) + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.6

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (2 \cdot - 1 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 3 (- 2 y) + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.8

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y^{2})}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.9

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{12 y^{2} - 6 y - 6 y^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.10

Trừ $6 y^{2}$ khỏi $12 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y^{2})}^{2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.11

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.11.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{2 \cdot 2}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.12

Nhân $\frac{6 y^{2} - 6 y}{{(2 y - 1)}^{2}}$ với $\frac{y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2} {(2 y - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.13

Nhân ${(2 y - 1)}^{2}$ với ${(2 y - 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.13.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{2 + 2}}$

Bước 4.5.13.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{(6 y^{2} - 6 y) y^{4}}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y^{4} (6 y^{2} - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Đưa $6 y$ ra ngoài $6 y^{2} - 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Đưa $6 y$ ra ngoài $6 y^{2}$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) - 6 y)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7.1.2

Đưa $6 y$ ra ngoài $- 6 y$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y) + 6 y (- 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7.1.3

Đưa $6 y$ ra ngoài $6 y (y) + 6 y (- 1)$ .

$\frac{y^{4} (6 y (y - 1))}{{(2 y - 1)}^{4}}$

$\frac{y^{4} \cdot 6 y (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 (y^{4} y^{1}) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 y^{4 + 1} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$

Bước 4.7.2.3

Cộng $4$ và $1$ .

$\frac{6 y^{5} (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{4}}$