Giải tích Ví dụ

$g (x) = \cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cot^{2} (2 \sqrt{x}) + \sqrt{\tan (x) - 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 \sqrt{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cot^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\cot (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.12

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.13

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.14

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.15

Viết lại biểu thức.

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.16

Kết hợp $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) (- \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.17

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.18

Kết hợp $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $- 2$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cot (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.19

Kết hợp $\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ và $\cot (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.20

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 2.21

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{\tan (x) - 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\tan (x) - 1}$ ở dạng ${(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \tan (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\tan (x) - 1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} (\sec^{2} (x) + 0)$

Bước 3.11

Cộng $\sec^{2} (x)$ và $0$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} {(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \sec^{2} (x)$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{2} (x)}{2}$

Bước 3.14

Di chuyển ${(\tan (x) - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sec^{2} (x)}{2 {(\tan (x) - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \csc^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \cot (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$