Giải tích Ví dụ

$g (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x - 1)$ và $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $x - 2$ với $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.7

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3.8.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $x - 2$ với $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \ln (x - 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.3

Kết hợp $- \ln (x - 1)$ và $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{- \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x - \ln (x - 1) \cdot - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.5.2

Nhân $- \ln (x - 1) \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + 1 \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.5.2.2

Nhân $\ln (x - 1)$ với $1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.1.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$ ở dạng một tích.

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}$ với $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x \ln (x - 1) + x - 2 + \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)}$