Giải tích Ví dụ

$g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{3} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}$ và $g (x) = \tan^{3} (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x^{2} + x + 1)}^{10}$ .

$3 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{10}$ và $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 10$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Bước 6.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + 0))$

Bước 6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Cộng $2 x + 1$ và $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1))$

Bước 6.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{10} + 10 \tan^{3} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1)$