Giải tích Ví dụ

$g (x) = {((\frac{5}{6}) \csc (\frac{x}{6}))}^{2}$

Bước 1

Kết hợp $\frac{5}{6}$ và $\csc (\frac{x}{6})$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6})}^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}$ .

$2 \frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}$ .

$\frac{2 (5 \csc (\frac{x}{6}))}{6} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 \csc (\frac{x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10 \csc (\frac{x}{6})$ .

$\frac{2 (5 \csc (\frac{x}{6}))}{6} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (5 \csc (\frac{x}{6}))}{2 (3)} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (5 \csc (\frac{x}{6}))}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}]$

Bước 3.3

Vì $\frac{5}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{6}$ đối với $x$ là $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{6})]$ .

$\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{3} (\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{6})])$

Bước 3.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $\frac{5}{6}$ với $\frac{5 \csc (\frac{x}{6})}{3}$ .

$\frac{5 (5 \csc (\frac{x}{6}))}{6 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{6})]$

Bước 3.4.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{6 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{6})]$

Bước 3.4.2.2

Nhân $6$ với $3$ .

$\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{18} \frac{d}{d x} [\csc (\frac{x}{6})]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = \frac{x}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x}{6}$ .

$\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{18} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{18} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{6}$ .

$\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{18} (- \csc (\frac{x}{6}) \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}])$

Bước 5

Kết hợp $\frac{25 \csc (\frac{x}{6})}{18}$ và $\csc (\frac{x}{6})$ .

$- \frac{25 \csc (\frac{x}{6}) \csc (\frac{x}{6})}{18} \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 6

Nâng $\csc (\frac{x}{6})$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{25 (\csc^{1} (\frac{x}{6}) \csc (\frac{x}{6}))}{18} \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 7

Nâng $\csc (\frac{x}{6})$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{25 (\csc^{1} (\frac{x}{6}) \csc^{1} (\frac{x}{6}))}{18} \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{25 {\csc (\frac{x}{6})}^{1 + 1}}{18} \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{25 \csc^{2} (\frac{x}{6})}{18} \cot (\frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 9.2

Kết hợp $\cot (\frac{x}{6})$ và $\frac{25 \csc^{2} (\frac{x}{6})}{18}$ .

$- \frac{\cot (\frac{x}{6}) (25 \csc^{2} (\frac{x}{6}))}{18} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 9.3

Di chuyển $25$ sang phía bên trái của $\cot (\frac{x}{6})$ .

$- \frac{25 \cdot \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{18} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Bước 10

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{18} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{18}$ .

$- \frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{6 \cdot 18} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.2

Nhân $6$ với $18$ .

$- \frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{108} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{108} \cdot 1$

Bước 13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{25 \cot (\frac{x}{6}) \csc^{2} (\frac{x}{6})}{108}$