Giải tích Ví dụ

$g (x) = (7 x^{2} + 9) (8 x + \sqrt{x})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{2} + 9) (8 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 7 x^{2} + 9$ và $g (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}] + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 3.2

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 3.4

Nhân $8$ với $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 8.3

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 10

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 12

Nhân $2$ với $7$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 13

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + 0)$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $14 x$ và $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x)$

Bước 14.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (14 (8 x) + 14 x^{\frac{1}{2}}) x$

Bước 15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 (8 x) x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Nhân $8$ với $14$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x \cdot x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x^{1}) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{1 + 1} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Bước 15.3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 15.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Bước 15.3.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Bước 15.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Bước 15.3.10

Cộng $2$ và $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$112 x^{2} + (7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Khai triển $(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$112 x^{2} + 7 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.2.1

Nhân $8$ với $7$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.2.2.1

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $7 x^{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.2.2

Đưa $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.4

Kết hợp $x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{7}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.5

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.6

Nhân $9$ với $8$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.5.2.7

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.6

Cộng $112 x^{2}$ và $56 x^{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Bước 15.7

Để viết $14 x^{\frac{3}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.8

Kết hợp $14 x^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.10.1

Đưa $7 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.10.1.1

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.1.2

Đưa $7 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.1.3

Đưa $7 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.1.4

Đưa $7 x^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài $7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.3

Cộng $1$ và $4$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 15.10.4

Nhân $5$ với $7$ .

$168 x^{2} + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$