Giải tích Ví dụ

$g (v) = - 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4} + 5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}} - \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d v} [- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $- 6 {(5 v - 3)}^{- 4}$ đối với $v$ là $- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}]$ .

$- 6 \frac{d}{d v} [{(5 v - 3)}^{- 4}] + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ là $f' (g (v)) g' (v)$ trong đó $f (v) = v^{- 4}$ và $g (v) = 5 v - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 v - 3$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 4}] \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- 6 (- 4 {u_{1}}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 v - 3$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \frac{d}{d v} [5 v - 3]) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 v - 3$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (\frac{d}{d v} [5 v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.4

Vì $5$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $5 v$ đối với $v$ là $5 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 3])) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $v$ là $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.7

Nhân $5$ với $1$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} (5 + 0)) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.8

Cộng $5$ và $0$ .

$- 6 (- 4 {(5 v - 3)}^{- 5} \cdot 5) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.9

Nhân $5$ với $- 4$ .

$- 6 (- 20 {(5 v - 3)}^{- 5}) + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 2.10

Nhân $- 20$ với $- 6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d v} [5 {(\ln (v^{3}))}^{\frac{6}{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $5 {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}$ đối với $v$ là $5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}]$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{d}{d v} [{\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5}}] + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ là $f' (g (v)) g' (v)$ trong đó $f (v) = v^{\frac{6}{5}}$ và $g (v) = \ln (v^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{6}{5}}] \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{6}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {u_{2}}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (v^{3})$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} \frac{d}{d v} [\ln (v^{3})]) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ là $f' (g (v)) g' (v)$ trong đó $f (v) = \ln (v)$ và $g (v) = v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{u_{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} \frac{d}{d v} [v^{3}])) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{6 - 5}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.8.2

Trừ $5$ khỏi $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{1}{v^{3}} (3 v^{2}))) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.9

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{v^{3}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} (\frac{3}{v^{3}} v^{2})) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.10

Kết hợp $\frac{3}{v^{3}}$ và $v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3 v^{2}}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $v^{2}$ và $v^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Đưa $v^{2}$ ra ngoài $3 v^{2}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{3}}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Đưa $v^{2}$ ra ngoài $v^{3}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{v^{2} \cdot 3}{v^{2} v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6}{5} {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{6}{5}$ và ${\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 (\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5} \cdot \frac{3}{v}) + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.13

Nhân $\frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5}$ với $\frac{3}{v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{6 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}} \cdot 3}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.14

Nhân $3$ với $6$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + 5 \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.15

Kết hợp $5$ và $\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.16

Nhân $18$ với $5$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.17

Đưa $5$ ra ngoài $90 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 v$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 (v)} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{5 (18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}})}{5 v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 3.18.3

Viết lại biểu thức.

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{d}{d v} [- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}]$

Bước 4

Vì $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- \sqrt[6]{1 + e^{2 x}}$ đối với $v$ là $0$ .

$120 {(5 v - 3)}^{- 5} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 \frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $120$ và $\frac{1}{{(5 v - 3)}^{5}}$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + 0$

Bước 5.2.2

Cộng $\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$ và $0$ .

$\frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}} + \frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{18 {\ln (v^{3})}^{\frac{1}{5}}}{v} + \frac{120}{{(5 v - 3)}^{5}}$